Modelli stocastici per la finanza e le assicurazioni (2007/2008)

Corso disattivato

Codice insegnamento
4S00539
Crediti
10
Coordinatore
Marco Minozzo
L'insegnamento è organizzato come segue:
Modulo Crediti Settore disciplinare Periodo Docenti
Lezione 8 MAT/05-ANALISI MATEMATICA 1° sem lez Marco Minozzo
Esercitazione 2 MAT/05-ANALISI MATEMATICA 1° sem lez Marco Minozzo

Obiettivi formativi

Il corso si rivolge a studenti che abbiano già seguito almeno un corso introduttivo di teoria della probabilità.
Vengono assunte per note tutte le nozioni usualmente impartite in un primo corso universitario di probabilità e statistica.
Si assume in particolare che siano note le principali distribuzioni univariate, sia discrete che continue, nonché i principali teoremi limite quali la legge (debole) dei grandi numeri ed il teorema del limite centrale.
Il corso si propone di integrare la preparazione probabilistica già acquisita introducendo alcuni dei concetti propedeutici ad un uso avanzato della teoria della probabilità e dei processi stocastici a parametro discreto e a parametro continuo, nonché degli integrali stocastici.

Programma

Spazi di probabilità finiti: spazi campionari, eventi, algebre degli eventi e spazi di probabilità; alberi degli eventi; modelli classici di probabilità; probabilità condizionata e indipendenza; variabili aleatorie e loro proprietà; probabilità condizionata e valore atteso condizionato rispetto ad una partizione finita.

Martingale a tempo discreto su spazi di probabilità finiti: martingale e tempi di arresto; strategie di gioco e impossibilità di strategie vincenti.

Spazi di probabilità infiniti e assiomi di Kolmogorov: spazi di probabilità infiniti; sigma-algebre; variabili aleatorie: discrete, assolutamente continue e singolari; valore atteso condizionato rispetto ad una sigma-algebra.

Variabili aleatorie multidimensionali: variabili aleatorie multidimensionali discrete e continue; funzione di ripartizione congiunta; distribuzione di probabilità congiunta e funzione di densità congiunta; distribuzioni di probabilità marginali e condizionate; funzioni di densità marginali e condizionate; indipendenza tra variabili aleatorie; covarianza; coefficiente di correlazione di Bravais; disuguaglianza di Cauchy-Schwarz; funzione generatrice dei momenti congiunta.

Distribuzioni di funzioni di variabili aleatorie: trasformate di variabili aleatorie; metodo della funzione di ripartizione; distribuzione del minimo e del massimo; metodo della funzione generatrice dei momenti; trasformata ; trasformata integrale di probabilità; trasformazioni di vettori di variabili aleatorie.

Limiti di variabili aleatorie: successioni di variabili aleatorie; convergenza in probabilità, in distribuzione, con probabilità uno (quasi certa) ed in media; legge (debole) dei grandi numeri e legge dei grandi numeri di Bernoulli per frequenze relative; teorema del limite centrale; lemma di Borel e legge forte dei grandi numeri di Borel; statistiche d’ordine; funzione di ripartizione empirica.

Catene di Markov a tempo discreto: processi Markoviani e catene di Markov; catene Markoviane omogenee; probabilità di transizione e probabilità marginali; equazioni di Chapman-Kolmogorov; stati comunicanti e classi di equivalenza; classificazione degli stati: transitori, persistenti, periodici ed ergodici; distribuzione stazionaria e teorema ergodico; Markov chain Monte Carlo e l’algoritmo di Metropolis.

Processi stocastici a tempo continuo: definizioni e distribuzioni finito-dimensionali; filtrazioni; processi adattati ad una filtrazione; filtrazioni generate da un processo stocastico; processi stazionari, ad incrementi stazionari e ad incrementi indipendenti; processi di conteggio e processo di Poisson; processi gaussiani e processo di Wiener (moto browniano); il processo di Wiener come limite del processo random walk; proprietà e irregolarità delle traiettorie (non derivabilità e variazione non finita); processi di Markov, probabilità di transizione ed equazioni di Chapman-Kolmogorov; martingale a tempo continuo.

Integrali stocastici: cenni sull'integrale di Riemann-Stiltjes; integrale di Itô e sue proprietà; formula di Itô, sue proprietà ed applicazioni; martingale associate ad un processo di Wiener; processi di diffusione; moto browniano geometrico e processo di Ornstein-Uhlenbeck.


Libri di testo

- W. FELLER (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 3rd Edition, Volume 1, Wiley.
- B. V. GNEDENKO (1979). Teoria della Probabilità, Editori Riuniti.
- R. V. HOGG, A. T. CRAIG (1994). Introduction to Mathematical Statistics, 5th Edition, Macmillan.
- T. MIKOSCH (1999). Elementary Stochastic Calculus With Finance in View, World Scientific.
- A. M. MODD, F. A. GRAYBILL, D. C. BOES (2003). Introduzione alla Statistica, McGraw-Hill.
- A. N. SHIRYAEV (1996). Probability, 2nd Edition, Springer.

Materiale integrativo distribuito a cura del docente.

Testi di approfondimento

- P. BALDI (1984). Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, Quaderni dell'Unione Matematica Italiana, n. 28, Pitagora Editrice, Bologna.
- G. CASELLA, R. L. BERGER (2002). Statistical Inference, 2nd Editon, Duxbury Advanced Series.
- J. JACOD, P. PROTTER (2000). Probability Essentials, Springer.
- S. LIPSCHUTZ (1975). Calcolo delle Probabilità, Collana SCHAUM, ETAS Libri.
- P. PROTTER (1990). Stochastic Integration and Differential Equations: A New Approach, Springer.
- S. SHREVE (2005). Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model, Springer.
- S. SHREVE (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, Springer.


Guida allo studio

Durante lo svolgimento del corso sarà indicato, per ogni specifico argomento, quali parti studiare dei libri di testo e quali altri testi consultare.
Gli studenti non frequentanti possono rivolgersi al docente per avere le indicazioni necessarie.
Una guida definitiva allo studio dei libri di testo sarà distribuita a fine corso.
Si consiglia di seguire le lezioni e le esercitazioni e di prendere regolarmente gli appunti.


Conoscenze preliminari

Per seguire con profitto il corso non sono richieste particolari conoscenze preliminari di probabilità.
Si assumono per date tutte le nozioni usualmente impartite in un primo corso universitario di probabilità e statistica.
Si assume in particolare che siano note le principali distribuzioni univariate, sia discrete che continue, nonché i principali teoremi limite quali la legge (debole) dei grandi numeri ed il teorema del limite centrale.


Esercitazioni

Fanno parte integrante del corso una serie di esercitazioni, alcune da svolgere a casa individualmente,
Tutte le esercitazioni sono indispensabili per una adeguata comprensione degli argomenti del corso.


Organizzazione del corso

Il corso si svolge nel primo semestre per un totale di 68 ore.


Orario di ricevimento

Nel caso di sovrapposizioni (con altre lezioni, ecc.) delle ore previste per il ricevimento studenti, si prega di contattare direttamente il docente.

Modalità d'esame

La prova di esame consiste in una prova scritta (di circa 1 ora e 30 minuti) seguita da una prova orale (di circa 20 minuti).
Per la prova scritta si potrà usare solamente una calcolatrice e non sarà consentito utilizzare nessun altro materiale (libri, appunti, ecc.).
Saranno ammessi alla prova orale soltanto gli studenti che avranno riportato un voto maggiore od uguale a 15/30 nella prova scritta.
Per sostenere le prove lo studente deve presentarsi munito di libretto universitario o di idoneo documento di riconoscimento.

Statistiche per i requisiti di trasparenza (Attuazione Art. 2 del D.M. 31/10/2007, n. 544)

Statistiche esiti
Esiti Esami Esiti Percentuali Media voti Deviazione Standard
Positivi 42.85% 27 3
Respinti 7.14%
Assenti 21.42%
Ritirati 28.57%
Annullati --
Distribuzione degli esiti positivi
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 30 e Lode
0.0% 0.0% 16.6% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 0.0% 16.6% 33.3% 0.0% 16.6% 16.6%

Valori relativi all'AA 2007/2008 calcolati su un totale di 14 iscritti. I valori in percentuale sono arrotondati al numero intero più vicino.