Una grande varietà di problemi matematici può essere rappresentata da modelli di tipo variazionale; inoltre essi interpretano molte situazioni reali, di cui una classe di notevole importanza è costituita da “problemi di equilibrio”. All’interno dei modelli variazionali, le disequazioni variazionali esprimono una condizione di equilibrio che, sotto ipotesi molto generali, risulta più aderente alla realtà e più versatile di quella espressa da un modello di ottimizzazione.
Le disequazioni variazionali sono state inizialmente formulate in forma scalare; solo recentemente, per meglio adattare i modelli alla rappresentazione di situazioni reali, in cui le grandezze che compaiono sono per loro natura vettoriali, si è passati ad una formulazione di tipo vettoriale, percorrendo tappe analoghe a quelle dell’ottimizzazione. Tale estensione si presta a diverse formulazioni, legate, ad esempio, a diversi concetti di ordine, o alla possibilità di privilegiare un obiettivo rispetto a un altro.
Parallelamente, è stata sviluppata l’indagine di metodi risolutivi, finalizzati a possibili applicazioni, quali, ad esempio, l’equilibrio su una rete di trasporti, o, più in generale, in un sistema economico o finanziario.
Gli obiettivi che questo progetto di ricerca si propone di ottenere sono:
a) studio delle connessioni tra disequazioni variazionali (quella di Stampacchia e quella di Minty) e loro collegamento con principi di equilibrio vettoriale;
b) analisi nello spazio immagine delle disequazioni variazionali vettoriali usando una funzione di separazione anch’essa vettoriale. Lo scopo è quello di un approccio unificatore che includa risultati esistenti e stimoli nuovi sviluppi;
c) dualità per disequazioni variazionali. In particolare, è interessante inquadrare nell’approccio di separazione la teoria della dualità, che, in un problema di equilibrio su una rete, è intimamente legata al potenziale ai nodi e agli archi, e quindi può fornire indicazioni di carattere qualitativo che permettono l’elaborazione di strategie per la razionalizzazione del sistema.
d) studio delle disequazioni variazionali vettoriali con ordine lessicografico e loro connessione con problemi di equilibrio vettoriali anch’essi con ordine lessicografico.
e) metodi di scalarizzazione per la risoluzione di disequazioni variazionali vettoriali.
