Matematica - Lezione (2007/2008)

Obiettivi formativi

Il corso intende fornire le conoscenze matematiche indispensabili per seguire i successivi corsi di carattere quantitativo previsti nel piano di studi.

Insiemi
Insiemi. Sottoinsiemi. Insieme potenza (o delle parti). Unione, intersezione. Insieme complementare. Prodotto cartesiano di insiemi. Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali. Intervalli di R. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di un intervallo.

Funzioni reali
Funzioni di una variabile. Grafico. Immagine e controimmagine. Funzione composta. Funzione inversa. Funzioni monotòne. Funzioni elementari e loro grafici: funzione potenza, funzione esponenziale, funzione logaritmica. Semplici trasformazioni del grafico di una funzione elementare. Simmetrie del grafico.

Richiami di geometria analitica.
Rette, parabole, circonferenze.

Equazioni e disequazioni
Semplici equazioni e disequazioni in R. Semplici disequazioni in R2.

Limiti e continuità
Concetto di limite. Algebra dei limiti. Calcolo di limiti. Forme indeterminate. Infiniti e infinitesimi. Confronto tra infiniti e tra infinitesimi. Limiti notevoli. Simboli di Landau. Continuità. Teorema di Weierstrass e sue conseguenze.

Derivate
Definizione e interpretazione geometrica di derivata. Regole di derivazione. Derivate successive. Punti stazionari. Monotonia e segno della derivata. Punti di massimo e di minimo. Teorema di Rolle e teorema di Lagrange. Cenno sulla convessità. Semplici studi di funzione. Formula di Taylor. Sviluppo della funzione esponenziale.

Integrali
Primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrale di Riemann. Alcune proprietà dell’integrale. Condizioni sufficienti per l’esistenza dell’integrale di Riemann. La funzione integrale e il Teorema fondamentale del calcolo integrale. Calcolo dell'integrale. Metodi elementari di integrazione. Integrazione per parti e per sostituzione. Cenni sull’integrale generalizzato.

Serie
Concetto di serie. La serie geometrica.

Funzioni di due o più variabili
Dominio. Curve di livello. Continuità. Derivate parziali, gradiente. Ricerca dei massimi e dei minimi. Cenni sull’integrale di una funzione di due variabili.

Elementi di algebra lineare
Spazi vettoriali Rn. Dipendenza e indipendenza lineare. Sottospazi. Generatori di Rn (o di un suo sottospazio). Basi e dimensione. Prodotto interno (o scalare).
Matrici. Moltiplicazione righe per colonne di matrici. Determinante. Proprietà del determinante. Matrice inversa. Rango. Diverse interpretazioni del rango.
Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema e regola di Cramer.


Libri di testo
Appunti e dispense forniti in rete dal docente.

Modalità di svolgimento delle lezioni (lezioni frontali/seminari/esercitazioni)
L’insegnamento prevede lezioni frontali per complessive 56 ore ed esercitazioni (sdoppiate) per complessive 30 ore.

L’esame prevede un test preliminare a risposta multipla: se lo studente raggiunge un punteggio minimo, può sostenere la prova scritta. Una prova orale è prevista nei casi di non piena sufficienza.