| Modulo | Crediti | Settore disciplinare | Periodo | Docenti |
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| lezione | 8 | SECS-S/06-METODI MATEMATICI DELL'ECONOMIA E DELLE SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE | 1° sem lez |
Andrea Gamba
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| esercitazione | 2 | SECS-S/06-METODI MATEMATICI DELL'ECONOMIA E DELLE SCIENZE ATTUARIALI E FINANZIARIE | 1° sem lez |
Claudio Tebaldi
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Il corso si divide in due parti. Nella prima si forniscono gli strumenti matematici per l’analisi dei modelli economici e finanziari affrontati nel successivo biennio della Laurea magistrale. Nella seconda parte, con maggiore enfasi applicativa, si illustrano gli strumenti quantitativi classici e moderni per l’analisi delle principali operazioni finanziarie e per la valutazione di progetti economico-finanziari, sia in un contesto di certezza che di rischio. Per rendere proficua la frequenza delle lezioni si consiglia di aver già superato gli esami di Matematica e Statistica.
Parte I
1. Richiami di calcolo per funzioni di più variabili
Cenni di metrica e topologia in R^n. Funzioni di più variabili: dominio, grafico, superfici di livello, limiti e continuità. Derivate parziali. Differenziabilità, continuità e piano tangente. Derivazione di funzioni composte. Derivate direzionali e gradiente.
2. Algebra lineare
Indipendenza lineare tra vettori. Generatori e basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Ortogonalità, proiezioni ortogonali e basi ortonormali. Applicazioni lineari e matrici. Nucleo, nullità, immagine e rango di un’applicazione lineare. Cambiamenti di base e simiglianza tra matrici. Decomposizione di un’applicazione lineare: autovettori e autovalori. Diagonalizzazione di una matrice.
3. Funzioni implicite, funzioni omogenee, forme quadratiche
Funzioni definite implicitamente. Teorema di Dini e teorema di Dini per sistemi. Funzioni omogenee. Forme quadratiche e loro segnatura. Determinazione della segnatura di una forma quadratica mediante autovalori e mediante i minori della matrice di rappresentazione.
4. Ottimizzazione
Estremanti assoluti e relativi di una funzione in R^n. Matrice Hessiana. Condizioni necessarie e sufficienti per un estremante libero. Programmazione classica: funzione obiettivo e regione ammissibile. Matrice Jacobiana dei vincoli e qualificazione dei vincoli. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange: condizioni necessarie. Matrice Hessiana orlata e condizioni sufficienti per estremanti vincolati. Significato economico dei moltiplicatori di Lagrange. Ottimizzazione con vincoli di disuguaglianza: condizioni di Kuhn-Tucker.
Parte II
5. Leggi e regimi finanziari
Operazioni finanziarie; capitalizzazione e attualizzazione. Leggi finanziarie: montante, valore attuale, interesse, sconto, tasso di interesse e tasso di sconto. Proprietà di scindibilità e uniformità di una legge finanziaria. Regime finanziario dell’interesse composto, regime finanziario dell’interesse semplice, regime finanziario dello sconto commerciale. Tassi di interesse equivalenti. Forza d’interesse. Tassi nominali, inflazione e tassi reali. Operazioni finanziarie in valuta e tassi di interesse.
6. Rendite e piani di ammortamento
Valore attuale e montante di una rendita. Classificazione delle rendite. Problemi inversi relativi alle rendite: ricerca del valore della rata, del numero di rate, del tasso di interesse; tecniche di calcolo del tasso interno di rendimento. Indici temporali e di variabilità di una rendita rispetto al tasso di interesse: duration. Analisi dell’investimento in titoli obbligazionari. Analisi del piano d’ammortamento di un prestito: generalità e relazioni fondamentali. Tipici piani d’ammortamento progressivo: francese, italiano, tedesco, americano. Pre-ammortamento. Leasing finanziario: valutazione e piano di ammortamento. Credito al consumo: TAN e TAEG.
7. Teoria della selezione del portafoglio: rischio-rendimento, diversificazione e premio per il rischio
Rendimento e rischio. Criteri di dominanza stocastica. La selezione del portafoglio di attività rischiose: portafoglio con due attività rischiose; portafoglio con un’attività certa e una rischiosa; portafoglio con due attività rischiose e un’attività certa. Portafogli efficienti secondo il criterio media-varianza e teorema di separazione (grafico). Effetto diversificazione. Premio per il rischio. Modello di Sharpe: rischio sistematico. Premio per il rischio (sistematico) e CAPM.
8. Valutazione e scelta di progetti economico-finanziari
Criteri di scelta: generalità e analisi dei cash flow. Flussi certi: NPV; IRR; TRM. Flussi rischiosi: tasso aggiustato per il rischio. Finanziamento con capitale di terzi e WACC.
LIBRI DI TESTO
Appunti del docente per la parte 2.
A. BASSO, P. PIANCA, Funzioni di più variabili, ultima edizione, Giappichelli, Torino, 2001, per le parti 1, 3, 4.
A. BASSO, P. PIANCA, Appunti di Matematica Finanziaria, ultima edizione, Cedam, Padova, 2002, per le parti 5, 6, 8.
P. BORTOT, U. MAGNANI, G. OLIVIERI, F.A. ROSSI, M. TORRIGIANI, Matematica finanziaria, seconda edizione con esercizi, Monduzzi, Bologna, 1998 (capitolo 13) per la parte 7.
MODALITÀ DI SVOLGIMENTO DELLE LEZIONI
Il corso si compone di 64 ore di lezioni frontali e di 20 ore di esercitazioni.
L'esame consiste in una prova scritta ed una orale. L'accesso alla prova orale è condizionato al superamento della prova scritta.
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